Integrales de Polinomios

La integral de cualquier polinomio es la suma de las integrales de sus términos. El término general de un polinomio se puede escribir y la integral indefinida de ese término es donde a y C son constantes. La expresión se aplica tanto a valores positivos como negativos de n excepto en el caso especial de n=-1. En los ejemplos, C se establece igual a cero. Si en la integración se establecen límites definidos, se llama entonces una integral definida.

Caso para n = -1

Aplicaciones

Integrales Definidas de Polinomios

La integral definida de cualquier polinomio es la suma de las integrales de sus términos. El término general de un polinomio se puede escribir y la integral definida de ese término es donde b y c son constantes, llamadas límites de la integral. El procedimiento es básicamente el mismo que el de la integral indefinida excepto en la evaluación de los dos límites.

Caso para n = -1

Aplicaciones

Integral de 1/x

Como caso especial de la integral de un polinomio, la integral de 1/x da un logaritmo natural.

donde C es la constante de integración.

En el caso de la integral definida:

Aplicaciones

Aplicaciones: Integral de 1/x

Esta integral aparece en procesos donde la tasa de cambio de una variable es proporcional a la variable en sí. esto ocurre en el decaimiento radioactivo:

Otro ejemplo lo tenemos en el cálculo del trabajo realizado por un gas durante un proceso isotérmico. En este caso la presión es inversamente proporcional al volumen del gas V, llevándonos a la integral de trabajo

Integrales Polinómicas: Aplicaciones

Las integrales definidas de polinomios aparecen en muchas aplicaciones físicas:

Energía potencial de un Muelle Estirado:

Momento de Inercia de Varilla, Cilindro, o Esfera

Centro de Masa de una varilla.

Ecuaciones del Movimiento con aceleración constante.

Energía Potencial Gravitacional a grandes alturas.

Cálculo de la energía almacenada en un condensador.

El cálculo de la diferencia de voltaje cerca de una carga puntual, implica una integral polinómica de potencia negativa:

Un ejemplo con exponente negativo, lo tenemos en el cálculo del trabajo en un proceso adiabático.