Matrices

La palabra matriz se refiere a una formación o conjunto rectangular de elementos. Las matrices tienen utilidad en los procedimientos para la transformación de tales conjuntos de elementos. Por ejemplo, un tipo de procedimiento podría representar la transformación de un conjunto de ejes de coordenadas en otro. Otro, es lograr la solución de un conjunto de ecuaciones lineales.

La notación común para las matrices utiliza una letra negrita para la matriz, e identifica sus elementos en términos de filas y columnas de la matriz. Los elementos normalmente se especifican por subíndices a_rc con el subíndice de fila (r) primero.

Una notación abreviada para las matrices es

Las matrices con las mismas dimensiones se pueden sumar, restar, o multiplicar por una constante de la misma manera que los números ordinarios, mediante la aplicación de la operación a cada elemento. Estas operaciones siguen las reglas de combinación de forma similar a los números ordinarios.

Teniendo en cuenta que una matriz es una formación rectangular, podemos hablar de la matriz m x n (se lee matriz de m por n) como la que tiene m filas y n columnas.

Usando la notación abreviada de matrices introducidas anteriormente, podemos describir algunas de las propiedades de las matrices. La transpuesta A^T de una matriz m x n A[a_jk], es la matriz n x m que tiene la primera fila de A como su primera columna, la segunda fila de A como su segunda columna, y así sucesivamente. Las matrices simétricas y las matrices antisimétricas son matrices cuadradas cuya transposición es igual a la matriz o menos la matriz original, respectivamente:

La multiplicación de matrices requiere un procedimiento definido y se define solamente para dos matrices si el número de filas de la segunda matriz es igual al número de columnas de la primera, como se muestra a continuación.

Multiplicación de Matrices

En las aplicaciones de matrices se invoca a menudo la multiplicación de dos matrices, la cual requiere de reglas de combinación de los elementos de las matrices. Utilizando una sola letra mayúscula negrita para representar matrices, la multiplicación se puede escribir:

En la práctica habitual se utiliza letras minúsculas para los elementos de las matrices, con dos subíndices en orden, especificando la fila y la columna. Con ello, este proceso de multiplicación de matrices para matrices de 3x3 puede ser representado como:

La multiplicación de matrices consiste en encontrar los elementos c_ij de la matriz producto mediante la aplicación de una norma específica, que implica la multiplicación de los elementos de la fila i^ésima de la matriz A, por los elementos de la columna j^ésima de la matriz B. Puesto que esto es suficientemente confuso, puede ayudar a representar visualmente el proceso según sigue:

Las operaciones que se realizan en el cálculo del producto de dos matrices son las mismas que las realizadas en la formación de un producto escalar de dos vectores. Podría ser útil pensar en el proceso de la formación del elemento c_jk tomando el producto escalar de la fila j de A por la columna k de B.

Dada la naturaleza del producto de matrices, se define solamente si el número de filas en la matriz B es el mismo que el número de columnas de la matriz A. Cuando se forma el producto matricial AB, la matriz del producto tendrá el mismo número de filas de A y el mismo número de columnas de B, como se ilustra a continuación.

Las áreas sombreadas son un recordatorio de que la fila j-ésima de la matriz A y la columna k-ésima de la matriz B se combinan para producir el valor del coeficiente c_jk en la matriz C del producto.

Reglas para la Combinación de Matrices

En la suma y multiplicación por una constante, las matrices siguen similares reglas de combinación a aquellas del álgebra. En la multiplicación de matrices aparecen notables diferencias.

Adición:

Multiplicación escalar (c y k son escalares):

La multiplicación de matrices tiene algunas propiedades muy diferentes:

La multiplicación de matrices tiene algunas propiedades similares a las de los números (k = escalar):