Velocidad de Caída Libre con Arrastre Cuadrático

Se presumirá que un objeto que cae libremente experimenta una fuerza de resistencia del aire proporcional al cuadrado de su velocidad. La dirección hacia abajo se tomará como positiva, y el objeto del cálculo es la velocidad en función del tiempo. Las expresiones se desarrollarán para las dos formas de arrastre del aire que se utilizarán para las trayectorias:

aunque los primeros pasos se realizarán solo con la forma -cv² por simplicidad.

La ecuación diferencial para el movimiento es

que expresa la fuerza en términos de la velocidad terminal v_t:

La integración de la ecuación de movimiento produce

que expresa el tiempo de caída t en términos del tiempo característico para el movimiento

La ecuación de movimiento se puede resolver para la velocidad v:

Si el objeto que cae fue liberado del reposo en el tiempo t=0, la expresión de la velocidad se convierte en:

La naturaleza del movimiento es tal que la velocidad está esencialmente en su velocidad terminal v_t después de un poco tiempo característico. A t = 5τ, la velocidad es 0,99991 v_t.

Distancia de Caída Libre en Función del Tiempo

La distancia de caída libre y en función del tiempo se puede obtener integrando la expresión de velocidad anterior.

La forma de esta integral es

La constante de integración es C=0 porque cosh(0)=1 y ln(1)=0, por lo que el resultado de la integración es

Tiempo de Impacto al Caer desde la Altura Máxima

Si sustituimos la altura de pico y_peak en la ecuación de distancia anterior para que haya alcanzado la superficie desde la que se lanzó, obtenemos la relación

Tomando la exponencial de ambos lados da

Esta expresión se usa en el cálculo de trayectoria vertical.