Elipse y Órbitas Elípticas

La elipse se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación

En coordenadas cartesianas con el eje x horizontal, la ecuación de la elipse es

La elipse se puede ver también como una sección cónica, la curva obtenida mediante el corte de un cono circular. Un corte perpendicular al eje nos da el caso especial del círculo.

En la descripción de una órbita elíptica, es conveniente expresar la posición orbital, mediante coordenadas polares, usando el ángulo θ:

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Esta es la forma conveniente para determinar el afelio y el perihelio de la órbita elíptica. El área de una elipse está dada por
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Cada una de las secciones cónicas se puede describir en función del semieje mayor a y la excentricidad e. Se muestran los valores representativos de estos parámetros, junto con el tipo de órbita asociada con cada uno.

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Forma Polar de la Elipse

En el diagrama de la izquierda, usando el teorema de Pitágora para expresar r' en función de r:

Usando la identidad trigonométrica
esto se reduce a

Usando la ecuación de la elipse, se puede obtener una expresión para r

Esta forma es útil en la aplicación de las leyes de las órbitas de Kepler para órbitas binarias bajo la influencia de la gravedad.

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Área de la Elipse

Usando la ecuación de la elipse

la altura se puede expresar como
e integrada sobre un cuarto de la elipse para obtener el área:
Este tipo de integral se puede evaluar usando la sustitución trigonométrica

Esto da la integral de área

Usando la identidad trigonométrica
la integral se convierte en
Luego, usando la identidad trigonométrica
esto da
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Conceptos sobre Órbitas

Carroll & Ostlie
Sec 2.1
 
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