Vibración de una Cuerda

El modo de vibración fundamental de una cuerda estirada es tal que, la longitud de onda es dos veces la longitud de la cuerda.


Aplicando las relaciones de onda básicas, da la expresión para la frecuencia fundamental:

Calcular


Puesto que la velocidad de onda está dada por , la expresión de frecuencia

se puede poner en la forma:


La cuerda también vibrará en todos los armónicos de la fundamental. Cada uno de estos armónicos, formará una onda estacionaria en la cuerda.

Esto muestra una onda estacionaria resonante en una cuerda. Está impulsada por un vibrador a 120 Hz.

En las cuerdas de rigidez finita, las frecuencias armónicas se desviarán progresivamente de los armónicos matemáticos. Para obtener la masa necesaria en las cuerdas de bajos eléctricos como se muestra arriba, el alambre se enrolla alrededor de otro alambre de núcleo sólido. Esto permite la adición de masa sin producir una rigidez excesiva.

Mediciones de Ejemplos en una Cuerda de Acero
Frecuencias de CuerdasInstrumentos de CuerdaIlustración con un SlinkyForma Matemática
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Velocidad de Onda en una Cuerda

La velocidad de una onda de propagación en una cuerda estirada está determinada por la tensión y la masa por unidad de longitud de la cuerda.

La velocidad de onda está dada por
Mostrar

Cuando se aplica la fórmula de onda a una cuerda estirada, se ve que se reproducen los modos resonantes de onda estacionaria. El modo de frecuencia mas baja de una cuerda estirada se llama fundamental, y su frecuencia está dada por

De

velocidad = raíz cuadrada ( tensión / masa por unidad de longitud )

la velocidad = m/s
cuando la tensión = N = lb
en una cuerda de longitud cm y masa/longitud = gm/m.
Para tal cuerda, la frecuencia fundamental sería Hz.

Se puede calcular cualquiera de las cantidades resaltadas haciendo clic sobre ella. Si en una cantidad no se introduce ningún valor numérico, se tomará el de una cuerda de 100 cm de longitud sintonizada a 440 Hz. Los valores por defecto se entrarán para cualquier cantidad que tenga valor cero. Se puede cambiar cualquier cantidad, pero se debe hacer clic sobre la cantidad que se desee calcular, para reconciliar los cambios.

Derivación de la velocidad de onda
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Armónicos

La vibración ideal de una cuerda se producirá a su frecuencia fundamental y a todos los armónicos de esa frecuencia. Las posiciones de los nodos y antinodos, son exactamente las opuestas de aquellas de la columna de aire abierta.

La frecuencia fundamental se puede calcular de

donde

T = tensión en la cuerda
m = masa de la cuerda
L = longitud de la cuerda

y los armónicos son múltiplos enteros.

Ilustración con un Slinky
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Frecuencias de Vibración de una Cuerda

Si se puntea la cuerda de una guitarra, no hay que decirle que tono tiene que tocar -¡lo sabe!-. Es decir, su tono es su frecuencia resonante, la cual está determinada por la longitud, masa y tensión de la cuerda. Los tonos varían de diferentes formas con estos diferentes parámetros, como se ilustra en el ejemplo de abajo:

Si se tiene una cuerda con
un tono de comienzo:
100 Hz
y se cambia* al
su tono
será
doble de longitud
50 Hz
cuatro veces la tensión
200 Hz
cuatro veces la masa
50 Hz
*con los otros parámetros puestos en sus
valores originales.
Si se desea elevar el tono de una cuerda mediante el aumento de su tensión:
Tensión
Frecuencia
Tono original
T0
f0
1 octava arriba
4T0
2f0
2 octavas arriba
16T0
4f0
3 octavas arriba
64T0
8f0
4 octavas arriba
256T0
16f0
5 octavas arriba
1024T0
32f0

Se puede ver que no es práctico sintonizar una cuerda en un rango grande de tonos utilizando la tensión, ya que esta sube por el cuadrado de la relación de tonos.

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